INECUACIONES CUADRATICAS
Inecuaciones cuadraticas
Una inecuación cuadrática incluye un término x al cuadrado y, por tanto, tiene dos raíces o dos puntos de intersección con el eje x. Al graficarla en un plano de coordenadas, esto produce una parábola. Resolver una inecuación significa encontrar los valores de x para los que se cumple la inecuación. Puedes mostrar estas soluciones de forma algebraica o ilustrando la inecuación en una recta numérica o plano de coordenadas.
Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado — convirtiendo un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación genérica y luego resolvemos x, encontramos que . Esta ecuación un poco extraña se conoce como fórmula cuadrática.
Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar, y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede ser usada para resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma .
Derivando la Fórmula Cuadrática
Vamos a completar el cuadrado en la ecuación general, , para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado:
· Empezar con una ecuación de la forma .
· Reescribir la ecuación de forma que quede despejada.
· Completar el cuadrado sumando a ambos lados.
· Reescribir como el cuadrado de un binomio y resolver x
¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ? Inténtalo antes de continuar con el siguiente ejemplo. Pista: Cuando trabajas con la ecuación general , existe una complicación que consiste en que el coeficiente de no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace que se compliquen algunas de las expresiones, pero si tienes cuidado, todo resultará bien, y al final, ¡obtendrás la fórmula cuadrática!
Ejemplo
Problema x'2+4x-21<0
1.Determina la dirección de la parábola. Para saber en qué dirección se extenderá la parábola, observa el término a en el formato estándar de la inecuación. Si este término es positivo, la parábola estará "boca arriba"; es decir, se extenderá hacia arriba. Si este término es negativo, la parábola estará "boca abajo"; es decir, se abrirá hacia abajo.
Debido a que el término a en la inecuación x^2+4x-21<0 es positivo, la parábola estará boca arriba.
2.Encuentra el eje de simetría. El eje de simetría es la línea que divide la parábola por la mitad. Para encontrarlo, usa la fórmula x=-b/2a, donde a y b corresponden a los términos de la inecuación cuadrática original.
Por ejemplo, para la inecuación x^2 +4x-21<0, calcularás primero
x=-4/2(1)
x=-4/2
x=-2 Entonces, el eje de simetría es la línea x=-2}
3.Encuentra el vértice de la parábola. El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola. Para encontrarlo, convierte primero la inecuación original en una ecuación igual a y le Luego, reemplaza en la ecuación el valor de x que hayas encontrado para el eje de simetría.
Por ejemplo, si el eje de simetría es x=-2, reemplaza -2 en la ecuación y resuelve:
y=(-2)^{2}+4(-2)+-21}
y=4-8-21}
y=4-8-21}
Entonces, el vértice de la parábola se encuentra en el punto (-2,-25)
4.Encuentra a Iy y Ix .El eje Iy. lo encontramos reemplazando en la formula original las x por 0 y Ix lo encontramos reemplazando en la siguiente formula.
Iy=0'2+4(0)-21<0
Iy=0+0-21<0
Iy=-21
x=-(+4)+/-√4'2-4(1)(-21)/2(1)
x=-4+/-√-16-84/2
x=-4+/-√100/2
x=-4+/-10/2
x1=-4+10/2
x1=6/2=3
x2=-4-10/2
x2=-14/2=-7
5.Grafica los puntos de interseccióncon .el eje x en el plano de coordenadas. Estos son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Ambas raíces que encontraste se encuentran en el eje x.son x>-7 y x<3, ya que estas son las raíces que encontraste usando la fórmula cuadrática o factorizando.
ejercicios del vídeo ejemplos
1 .0<1
como el primer numero es positivo la parábola va hacia arriba2.
x=-(+4)/2(5)=
x=-4/10=-2/5=-275
3. x,f(x)
x=f(-2/5) (-2/5)
x=5(-2/5)^2+4(-2/5)-1
x=-20/25 - -8/5 -1 =
x=-100-200/125=-300/125 podemos a simplificar lo mas que se pueda
x= -12/5
4. Iy=x=0 =Iy=0
Iy=5(0)^2+4(0)-1
Iy=5(0)+0-1=-1
GRÁFICA
EJEMPLO#2
1.0>1
como el primer numero es positivo la parábola va hacia arriba
x=-(5)/2(6)=
x=-5/12=-0.41
3. x,f(x)=(--5/12,f(-5/12)
6(-0.41)^2+5(-0.41)-14=
-15.04
v=(-5/12,-15.04)
4. Iy=0
Iy=6(0)^2+5(0)-14
Iy=6(0)+5-14
Iy= 0+0-14=-14
GRAFICA
problema de aplicación
